SVARBIAUSIŲ FORMULIŲ SANTRAUKA

Paprastosios ir sudėtinės arba kaupiamosios Palūkanos

Būsimoji kapitalo vertė, apskaičiuota pagal sudėtinių (kaupiamųjų) palūkanų formulę yra, čia K₀ – pradinis kapitalas (dabartinė kapitalo vertė); K – sukauptasis kapitalas (būsimoji kapitalo vertė); n – kaupimo trukmė, skaičiuojama laiko vienetais (metais); i – nominalioji palūkanų norma  , (p – nominaliosios palūkanų normos procentinė išraiška).
Kai viename laiko vienete yra k konversijos (perskaičiavimo) periodų, būsimoji kapitalo vertė yra

Diskontavimas – bet kurios iš anksto nustatytos vertinės reikšmės perskaičiavimas ankstesniam laiko­tarpiui.

čia v – diskonto koeficientas su palūkanų norma i.

.

Logistinis kaupimas

Kapitalo augimas aprašomas logistine kaupimo (akumuliavimo) funkcija, jei kapitalas duotoje aplinkoje gali augti tik iki tam tikros ribos. Tą maksimalią reikšmę pažymėkime   K_m  .
.
Lygties dešinės pusės skaitiklį ir vardiklį padalinę iš K_m ir santykį  pažymėję raide S , bei pavadinę šį santykį pradinio prisotinimo koeficientu, turėsime kitą logistinės kapitalo kaupimo  funkcijos išraišką
.
Laikydami, kad formulės viename laiko vienete yra k perskaičiavimų, turėsime:

Čia, kaip ir anksčiau, K₀ – pradinis kapitalas (esamoji kapitalo vertė), K – sukauptasis kapitalas (būsimoji kapitalo vertė), K_m – maksimalus kapitalo dydis duotoje aplinkoje, i – palūkanų norma, n – kapitalo kaupimo laikas, išreikštas palūkanų kaupimo periodais, S – duotos aplinkos pradinio prisotinimo koeficientas, k – perskaičiavimų viename laiko vienete skaičius.
Kapitalo kaupimas taip pat gali būti suprantamas, kaip diskretusis procesas. Diskrečiuosius procesus patogu išreikšti rekurentinio sąryšio funkcijų pagalba. Logistinė kapitalo kaupimo funkcija gali būti išreikšta aproksimuota rekurentine lygtimi:

.

Čia, norint apskaičiuoti kapitalo reikšmę K_n+1,būtina žinoti jo ankstesniojo periodo reikšmęK_n.
Diskontavimas logistinės funkcijos pagalba. Iš logistinės kaupimo lygties išreiškę pradinį kapitalą, turėsime
.
Tai logistinė esamosios kapitalo vertės skaičiavimo formulė. Gautos lygties dešinės pusės skaitiklį ir vardiklį padalinę iš K_m, ir gautą santykį pažymėję raide E, bei pavadinę momentinio prisotinimo koeficientu,  gausime

.

Vertės lygtis

Tarpinės sumos K₁, K₂, … mokamos praėjus terminams n_i (i =1, 2, …). Galutinė įmoka X, mokama praėjus n metų.

,

Draudėjo ir draudiko įsipareigojimų ekvivalentumas

M(A) = M(S).

M(A) – visų premijų (įmokų) matematinis vidurkis;
M(S) – visų išmokamų sumų matematinis vidurkis.

Mirtingumo funkcijos

Naudojami žymėjimai:
x – žmogaus (gyventojo, kliento) amžius;
l_x – x metų turinčių gyventojų skaičių;
d_x – per metus (tarp x ir x+1 metų) mirusių gyventojų skaičių;
q_x – tikimybę, sulaukus x metų, numirti  per ateinančius x+1 metus;
p_x – tikimybė išgyventi dar bent vienerius metus;
_n p_x – tikimybę išgyventi nuo x iki x + n metų;
n – numatomų išgyventi metų skaičius;
w – skaičiavimais įvertinamas ribinis kliento amžius.
Šie dydžiai susiję tokiomis priklausomybėmis:

 arba

Tikimybė išgyventi dar bent vienerius metus yra:

.

Tikimybę išgyventi nuo x iki x + n metų:

.

Tikimybė numirti

Tikimybė sulaukus x metų amžiaus numirti per x+1 metus:

.

Tikimybė numirti x metų amžiaus žmogui, kol jis sulauks  x+ n metų:

.

Komutaciniai skaičiai (komutacinės funkcijos). Sudarant komutacines funkcijas vartojami tokie žymėjimai:

;

;

;

;

.

Jei renta išmokama k kartų per metus, tai funkcija N_x: Postnumerando atveju

.

Prenumerando atveju

.

Gyvybės draudimas. Tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas

.

Tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas išreikštas komutacinėmis funkcijomis

;

čia  – neto premijos dydis, draudžiantis x+n metų sulaukimo atvejui;
R – sumos, išmokamos išgyvenus iki nustatyto laiko, dydis;
v – diskonto koeficientas su palūkanų norma i.;
n – metų skaičius, kuriems praėjus išmokamas draudimas (išgyvenimo trukmė);
l_x ir l_x+n – x ir x+n metų amžiaus asmenų skaičius.

Pensijų draudimas. Renta iki gyvos galvos. Vienkartinių premijų apskaičiavimas

Tam, kad klientas kiekvienų metų pradžioje iki gyvos galvos gautų 1 Lt rentą   dabar sumokama vienkartinė neto premija a_x yra:

.

Vienkartinė draudimo įmoka, kai renta mokama prenumerando kas mėnesį, kiekvieną kartą sumokant 1/12 metinės sumos

.

Tam, kad klientas kiekvienų metų gale iki gyvos galvos gautų 1 Lt rentą   dabar sumokama vienkartinė neto premija  yra:

.

Atidėtoji renta. Vienkartinių premijų apskaičiavimas

Jei renta mokama ne iš karto, o yra atidėta  n metų, tai vienkartinė premija  yra(prenumerando atvejis):

.

                      Lygiai tas pat postnumerando atveju bus

.

Atidėtoji renta. Metinių premijų apskaičiavimas

                      Atidėtosios rentos vienkartinių premijų ir metinių prenumerando įmokų ekvivaletumo lygtis

Atidėtosios rentos metinė prenumerando premija P_x:

.

Premijų ekvivalentumo lygtis, kai premijos mokamos ne visą atidėtąjį n metų laikotarpį, o tik pirmuosius m metų (m<n).

.

Metinė prenumerando premija, kai renta atidėta n metų, o įmokos mokamos pir­muosius m metų:

.

Termininė renta

Per n metų prenumerando išmo­kamos ter­mininės rentos  vienkartinė neto premija:

.

Per n metų postnumerando išmo­kamos ter­mininės rentos vienkartinė neto premija:

.

Termininė atidėtoji renta

 Ji yra tada, kai išmokama po n metų per kitus m metų. Prenumerando išmokamos rentos vienkartinė neto premija:

.

Postnumerando išmokamos rentos vienkartinė neto premija:

.

Draudimas mirties atveju

                      Tikimybė asmeniui, turinčiam x metų, nu­mirti per ateinančius (x+1)-sius gyvenimo metus yra

.

 Tikimybė tam pačiam asmeniui, pragyvenus dar n metų,  numirti per ateinančius -ius jo gyvenimo me­tus yra

.

Draudimo premijos dydis, draudžiantis mirties atveju 1 Lt sumai

.

Jei išmokamas ne 1 Lt, o suma S, tai premija A_x bus:

 , arba

Vienkartinės premijos _nA_x dydis n metų atidėtos rentos atveju bus

.

Termininis mirties draudimas

Draudžiant gyvybę  vienkartinės premijos dydis bus

Draudimo suma S bus išmokama, jei apdraustasis mirs per artimiausius n metų.
Metinės premijos mirties atveju
Metinės premijos P_x dydis, draudžiant gyvybę n metų terminui, sumai S

.

                      Metinės premijos P_x turi būti mokamos kasmet iki sueis n metų. Draudimo suma S bus išmokama, jei apdraustasis mirs per artimiausius n metų, o jei jis tuos metus išgyvens, tai negaus nieko.

Mišrusis gyvybės draudimas

Vienkartinės premijos  apskaičiavimas draudžiant gyvybę mišriuoju draudimu n metų laikotarpiui

.

Metinės premijos P_x, mokamos m pirmųjų metų, dydis, kai draudžiamasi mišriuoju draudimu n metų laikotarpiui (m<n)

.

Apdraustasis gaus draudimo išmoką, jei jis išgyvens  sutartyje numatytus n metų. Jei vis dėl to apdraustasis numatyto laikotarpio neišgyvens, tai draudimo išmoką gaus sutartyje nurodytas naudos gavėjas (paveldėtojas).

Draudimas nuo nelaimingų atsitikimų

Premijos _na apskaičiavimas draudžiant nuo nelaimingų atsitikimų

Čia S – draudimo suma išmokama netekus darbingumo, q – nelaimingo įvykio tikimybė, p – tikimybė, kad nelaimingas įvykis neįvyks , v – diskonto koeficientas su palūkanų norma i, n – draudimo sutarties galiojimo laikas.