PINIGŲ SRAUTŲ DISKONTAVIMAS

Įvairios draudimo operacijos betarpiškai susietos su įvairaus tipo finansinėmis operacijomis. Draudėjai moka įmokas (premijas), o draudikai išmoka draudimo sumas. Visa tai vyksta ne vienu metu, o per tam tikrą laiką, tad sudaromi taip vadinami pinigų srautai. Mokėjimų srautai bus ekvivalentūs tik tuomet, kai šie srautai bus subalansuoti, t.y. kai bus įvertinta pinigų laiko vertė. Tai įgyvendinama apskaičiavus pinigų srautų dabartinę vertę.
Šiame skyrelyje trumpai aptarsime pinigų vertės priklausomybę nuo laiko ir kitus svarbiausius pinigų srautų skaičiavimo reikalavimus.

2.1 Palūkanos. Sąvokos ir  apibrėžimai

Palūkanomis laikomas pelnas, gautas už paskolintus pinigus. Apskritai dauguma juridinių ar fizinių asmenų vienaip ar kitaip susiduria su palūkanomis: ima paskolas, perka obligacijas, draudžia gyvybę ar turtą ir t.t.

Skolinamas kapitalas gali būti ne tik pinigai ar vertybiniai popieriai, bet ir kiti ištekliai. Savo ruožtu naudojimosi mokestis gali turėti taip pat  pačias įvairiausias formas: gali būti atsiskaitoma paslaugomis, produkcija, ar kitokiu materialiu ar nematerialiu turtu. Pavyzdžiui, už paskolintą javų kombainą gali būti atsilyginama produkcija – grūdais. Čia paskolintas kombainas būtų kapitalas, o uždirbti grūdai – palūkanos.
Kad skolininko ir skolintojo santykiai būtų nustatyti vienareikšmiškai būtina tiksliai apibrėžti ir pačias palūkanas. Palūkanos yra lygios tam tikram pasiskolinto kapitalo procentui, kai tuo kapitalu disponuojama nustatytą laiką. Iš to aišku, kad palūkanos priklauso ne tik nuo procentų bei pasiskolinto kapitalo dydžio, bet ir nuo naudojimosi tuo kapitalu trukmės. Skolinimosi terminas matuojamas laiko vienetais. Finansiniuose skaičiavimuose laiko vienetas paprastai lygus vieneriems metams.
Paskolintoji suma vadinama pradiniu kapitalu, o per visą skolinimosi laiką sukaupta suma – sukauptuoju (būsimuoju) kapitalu. Finansiniuose skaičiavimuose pradinis kapitalas dažnai vadinamas dabartine verte, o sukauptasis kapitalas –  būsimąja verte. Skolinimosi laikas vadinamas palūkanų terminu.
Kita vertus skirtumas tarp per visą skolinimosi laiką sukauptojo ir pradinio kapitalų, t.y. skirtumas tarp grąžintos ir paskolintos sumos vadinamas palūkanomis.
Skaičius, iš kurio matyti, kiek procentų per pasirinktą laiko vienetą (dažniausiai metus), padidėja pradinis kapitalas, vadinamas palūkanų norma.
Palūkanų norma parodo, kiek piniginių vienetų per vieną periodą (laiko vienetą) turi sumokėti skolininkas už naudojimąsi 100 kapitalo vienetų, arba kiek centų per nustatytą laiką turi sumokėti skolininkas už kiekvieną pasiskolintą litą.

Laikas tarp dviejų gretimų palūkanų perskaičiavimo momentų vadinamas perskaičiavimo arba konversijos periodu. Palūkanų norma dažniausiai nustatoma laiko vienetui.
Jei per laiko vienetą palūkanos perskaičiuojamos tik vieną kartą, tai tokia palūkanų norma vadinama faktine. Tačiau laiko vienetas gali turėti ne vieną, o kelis konversijos periodus.
Palūkanų norma, skaičiuojama laiko vienetui, turinčiam kelis konversijos periodus, vadinama nominaliąja palūkanų norma.
Viename laiko vienete gali būti ne vienas, o keli konversijos periodai. Tuomet vieno periodo palūkanų norma (kartu ji bus ir faktinė to periodo palūkanų norma) bus lygi nominaliajai palūkanų normai padalytai iš perskaičiavimo periodų skaičiaus. Kai perskaičiavimų skaičius lygus vienetui, tai faktinė palūkanų norma lygi nominaliajai.
Per laiko vienetą (metus) palūkanų normą skaičiuojat k kartų, nominalioji palūkanų norma  kartais žymima . Pavyzdžiui, jei metinė palūkanų norma lygi 12%, o palūkanos skaičiuojamos 4 kartus per metus, tai tokia nominalioji palūkanų norma užrašoma .
Skolinimo laikas (palūkanų terminas) gali būti sudarytas iš sveikojo ar trupmeninio laiko vienetų skaičiaus. Savo ruožtu laiko vienetas gali turėti vieną ar kelis periodus. Dažniausiai periodo trukmė – vieneri metai, rečiau – pusmetis ketvirtis, mėnuo ir panašiai.
Mūsų atliekamuose skaičiavimuose laiko vienetas sutaps su konversijos periodu ir bus lygus vieneriems metams.
Toliau vartosime tokius žymėjimus:

– pradinis kapitalas (dabartinė kapitalo vertė)

– sukauptasis kapitalas (būsimoji kapitalo vertė)

– palūkanos

– palūkanų norma (išreikšta procentais)

– palūkanų norma (išreikšta dešimtaine trupmena)

– palūkanų apskaičiavimo trukmė

– sudėtinių procentų koeficientas

– diskonto koeficientas

– iracionalus skaičius (e≈2,718)

Finansiniuose skaičiavimuose terminu „palūkanos“ suprantamas ne tik mokestis už naudojimąsi pasiskolintu kapitalu, bet ir pati paprastųjų ar sudėtinių procentų formulė, skaičiuojanti tokias palūkanas.

2.2 Paprastosios ir sudėtinės arba kaupiamosios palūkanos

Paprastųjų palūkanų, kaip ir paprastųjų procentų, skiriamasis bruožas yra tai, jog čia palūkanos skaičiuojamos tik nuo pagrindinio kapitalo. Tai yra daroma net ir tada, kai naudojimosi kapitalu trukmė viršija vieną periodą.
Kapitalo augimas (būsimoji vertė) paremtas paprastaisiais procentais apskaičiuo­jama pagal formulę

Finansinėje praktikoje plačiai vartojamos sudėtiniai arba kaupiamieji procentai. Sudėtiniai procentai, palyginti su paprastaisiais, natūraliau atspindi kapitalo kaupimo mechanizmą. Čia palūkanos nėra atskirtos nuo pagrindinio kapitalo, o praėjus nustatytam laikui, prijungiamos prie jo ir duoda naujas palūkanas. Dėl to apskritai yra didesnė laiko veiksnio įtaka ir spartesnis kapitalo augimas.
Kitaip tariant, skaičiuojant pagal sudėtinius procentus apskaičiuotos nuo bazinės sumos palūkanos prie jos yra ir pridedamos. Naujai gautoji suma tampa  artimiausio būsimojo periodo baze, todėl bazė sudėtiniuose procentuose keičiasi pasibaigus kiekvienam palūkanų periodui. Kita vertus, kapitalo augimą pagal sudėtinių procentų taisyklę galima laikyti kaip reguliarų palūkanų, apskaičiuotų pagal paprastuosius procentus, reinvestavimą.
Palūkanų kaupimo pagal sudėtinių procentų mechanizmą procesas vadinamas palūkanų kapitalizavimu, o patys sudėtiniai procentai – sudėtinėmis arba kaupiamosiomis palūkanomis.
Šio tipo finansiniai skaičiavimai pagrįsti žinoma sudėtinių procentų formule, kurią ateityje dažniausiai vadinsime sudėtinių palūkanų formule:

Remiantis anksčiau aptartu palūkanų apibrėžimu, darome išvadą, kad palūkanos yra lygios sukauptojo ir pradinio kapitalų skirtumui, t.y.

,

arba

Laikydami, kad formulės (2.2) viename laiko vienete yra k perskaičiavimų, turėsime:

Tai sudėtinių palūkanų formulė, kai viename laiko vienete yra keli palūkanų perskaičiavimo (konversijos) periodai.
Normaliomis sąlygomis kapitalas kinta (auga) nuolatos. Tokį kapitalo kitimą galima vertinti pagal formulę

,

čia K; – sukauptasis kapitalas (būsimoji kapitalo vertė), K₀; – pradinis kapitalas (dabartinė kapitalo vertė), e – iracionalus skaičius (e≈2,718),  – palūkanų norma (išreikšta dešimtaine trupmena), p– palūkanų norma (išreikšta procentais) n; – palūkanų apskaičiavimo trukmė.
Kai i > 0 pastaroji formulė reikš kapitalo augimą, o kai i <0 – nykimą. Tačiau, reikia pasakyti, kad pastaroji formulė finansinėje praktikoje taikoma ribotai.

2.3 Logistinis (ribinis) kaupimas

Paprastai kapitalo augimas skaičiuojamas remiantis formule (2.2). Tačiau tai daryti galima tol, kol kapitalo augimas yra nevaržomas išorinių veiksnių. Kapitalas negali augti vienodu tempu begalo ilgą laiką, ypač jei sistema yra visiškai ar dalinai uždara. Tokioje sistemoje augdamas kapitalas išsemia jo aplinkoje esančius ribotus išteklius, pats sau  sudaro konkurenciją, ir dėl to jo augimas lėtėja. Sistema “prisotinama” kapitalu. Jei koks nors kitimas yra ribojamas išorinių išteklių, sakome kad tas kitimas yra logistinis arba ribinis.
Tarkime, kad kapitalas duotoje aplinkoje gali augti tik iki tam tikros ribos. Tą maksimalią reikšmę pažymėkime   K_m  . Tuomet kapitalo augimas bus aprašomas logistinę kaupimo (akumuliavimo) funkcija [6]:
.                                                                 (2.5).
Lygties (2) dešinės pusės skaitiklį ir vardiklį padalinę iš K_m ir santykį  pažymėję raide S , bei pavadinę šį santykį pradinio prisotinimo koeficientu, turėsime kitą logistinės kapitalo kaupimo  funkcijos išraišką
.                                                                           (2.6)
Laikydami, kad formulės (2.5) viename laiko vienete yra k perskaičiavimų, turėsime:

Čia, kaip ir anksčiau, K₀ – pradinis kapitalas (esamoji kapitalo vertė), K – sukauptasis kapitalas (būsimoji kapitalo vertė), K_m – maksimalus kapitalo dydis duotoje aplinkoje, i – palūkanų norma, n – kapitalo kaupimo laikas, išreikštas palūkanų kaupimo periodais, S – duotos aplinkos pradinio prisotinimo koeficientas, k – perskaičiavimų viename laiko vienete skaičius.
Užrašytosios kapitalo dabartinių ir būsimųjų verčių skaičiavimo formulės išreiškia tolydųjį kitimą. Kitaip tariant mes laikome, kad kapitalas kinta (auga ar mažėja) nuolatos, t.y. tolydžiai, nenutrūkstamai. Tačiau natūraliai labiau paplitęs yra diskretusis kitimas. Jį galėtume apibudinti kaip kitimą šuoliais: pauzė – šuolis – pauzė – šuolis ir t.t.
Kapitalo kaupimas taip pat gali būti suprantamas, kaip diskretusis procesas. Natūroje kapitalo šuoliai gali būti susieti su įvairiais ciklais ar sezoniškumu: palūkanų priskaičiavimu, akcijų ar obligacijų emisija,  gaminių partijos išleidimu (realizavimu), derliaus nuėmimu  ir pan.
Logistinę kapitalo kaupimo funkciją (2.5) tiksliai išreikšti rekurentiniu sąryšiu duotuoju atveju nėra galimybės. Todėl funkcija (2.5) aproksimuojama lygtimi

.                       (2.7)

Čia, norint apskaičiuoti kapitalo reikšmę K_n+1,būtina žinoti jo ankstesniojo periodo reikšmęK_n.
Funkcijos (2.7) kitimo pobūdis yra analogiškas kaip ir tolydžios funkcijos (2.5) išskyrus artimą prisotinimui atvejį, kai .  Kadangi šioje srityje funkcija daro staigius šuolius, tai jos pagalba galima modeliuoti kapitalo kitimo kritines situacijas.

2.4 Diskontavimas pagal sudėtinius procentus

Apskritai diskontavimas  gali būti suprantamas kaip tam tikra nuolaida. Čia pateiksime tikslesnį diskontavimo apibrėžimą:

Paprastųjų palūkanų atveju, kada yra nagrinėjamas bankinis diskontavimas, galutinė kapitalo vertė perskaičiuojama į ankstesnę, tarpinę. Sudėtinėse palūkanose paprastai įvairios tarpinės reikšmės perskaičiuojamos pradiniam (dabartiniam) momentui, t.y. randama kapitalo dabartinė vertė. Šiuo atveju sprendžiama sudėtinių palūkanų lygtis pradinio kapitalo K₀ atžvilgiu:

.

Pažymėję , gauname:

Gavome kaupiamųjų palūkanų diskontavimo formulę. Čia v – diskonto koeficientas. Iš formulės matome, kad piniginių lėšų dabartinė vertė K₀ yra lygi diskontuo­jamų lėšų K ir diskonto koeficiento v, pakelto metų skaičiaus laipsniu n, sandaugai.
2.1 pavyzdys. Kokią pinigų sumą reikia įnešti į taupomąjį banką, kad, esant 5% metinių kaupiamųjų palūkanų normai, po 4 metų būtų gauta 20 000 Lt?
Diskontuojame duotąją pinigų sumą:
.
Atsakymas: 16 454,05 Lt.
2.2 pavyzdys. Yra galimi du mokėjimo pagal draudimo sutartį variantai: pirmasis – dabar sumokėti 10 000 Lt; antrasis – dabar sumokėti 2 000 Lt, o po 3 metų dar 10 000 Lt. Nustatykime, kuris mokėjimo variantas yra ekonomiškesnis, jei žinoma, kad metinė palūkanų norma lygi 10%, o visos kitos sąlygos abiem atvejais yra vienodos.
Neįsigilinus gali pasirodyti, kad efektyvesnis yra pirmasis būdas. Tačiau nustačius antrojo varianto išlaidų dabartinę vertę, t.y. diskontavus antrajam būdui įgyvendinti skirtas lėšas, gauname:

.

Matome, kad vis dėl to efektyvesnis (pigesnis) yra antrasis būdas, nes jo dabartinė vertė yra 9 513,15 Lt.
Reikia pastebėti, kad nagrinėjamam ekonomiškumui lemiamą reikšmę turi palūkanų normos dydis. Jei palūkanų norma būtų tik 5%, gautume:

Matome, kad antrojo varianto dabartinė vertė šiuo atveju yra lygi 10 638,38 Lt, o tai reiškia, kad ekonomiškesnis yra pirmasis mokėjimo būdas. Galima apskaičiuoti kad abu variantai bus apytikriai vienodo ekonomiškumo, jei palūkanų norma bus 7,72%.
2.3 pavyzdys:     Sudarant draudimo sutartį svarstomi du galimi įmokų (premijų) variantai.  Nustatykime, kuris iš šių variantų  yra naudingesnis draudėjui (sutartį sudarančiam asmeniui), jei metinė palūkanų norma lygi 8%. Įmokų, atliekamų atitinkamų metų pradžioje, dydžiai pateikti lentelėje:

Įmokos metų pradžioje

II variantas

1000

1000

2000

1000

1000

500

400

1000

1000

500

600

2000

6000

6000

Nustatykime kiekvieno sutarties varianto įmokų dabartinę vertę diskon­tuodami kiekvienų metų išlaidas pradiniam momentui. Dis­kontavę išlaidas, reikalingas sutarties kiekvieno varianto realizavimui, gauname:
I variantas Lt.
II variantas Lt.
Dabartinės vertės skaičiavimai rodo, kad pirmasis variantas yra brangesnis 292,99 Lt (5 170,10 – 4 877,11).
Išvada: jei kitos sutarties sąlygos yra vienodos, tai, esant 8% palūkanų normai, tikslingiau pasirinkti antrąjį variantą.

Atliekant dabartinės vertės skaičiavimus kompiuteriniu skaičiuokliu Microsoft Excel, gali būti panaudota finansinė NPV funkcija. Panaudojant šią funkciją 2.3 pavyzdžio sprendimui gali būti užrašytos tokios komandos:
“=NPV(8%;2000;1000;4000;1000;600)+1000 lygu  5 170,10”
“=NPV(8%;1000;500;1000;500;2000)+1000 lygu  4 877,11”.

2.5 Ekvivalentumo lygtis

Šiame skyrelyje aptarkime finansinių įsipareigojimų ekvivalentumą. Finansiniuose sandoriuose paprastai dalyvauja 2 suinteresuotos šalys, todėl pats sandoris įmanomas tiktai tada, kai jame abiejų šalių interesai yra subalansuoti. Kadangi finansiniai įsipareigojimai paprastai susieti su tam tikrais terminais, tai čia būtina įvertinti pinigų vertės priklausomybę nuo laiko. Dar šio skyrelio pradžioje pastebėjome, kad pinigų vertė laikui bėgant keičiasi: 1000 Lt dabar ir 1000 Lt po metų nėra tie patys pinigai – dabar turima 1000 Lt suma, ją padėjus į banką, po metų duos papildomai dar ir palūkanas.
Norint sulyginti skirtingu laiku gautas ar išmokėtas pinigų sumas reikia jas perskaičiuoti tam pačiam laiko momentui, vadinamu palyginimo momentu arba palyginimo tašku. Perskaičiuodami naudojame būsimąsias ar dabartines pinigų vertes.
Finansinių įsipareigojimų ekvivalentumo principas reikalauja, kad, pavyzdžiui, kreditas, paimtas dabar, o išmokėtas po tam tikro termino, būtų padengtas jai ekvivalenčia suma. Pastaroji priklauso nuo laiko trukmės, praėjusios nuo kredito paėmimo iki padengimo ir nuo susitarto palūkanų normos dydžio. Įsipareigojimų ekvivalentumas matematiškai išreiškiamas ekvivalentumo arba vertės lygtimi. Čia svarbu pabrėžti, kad vertės lygtis gali būti užrašyta ne tik pradiniam laikui, bet ir bet kuriam kitam palyginimo momentui. Taip užrašytos lygtys yra ekvivalenčios, t.y. jos turi tuos pačius sprendinius.
Vertės lygtis yra labai paprasta, jei kreditas padengiamas vienos įmokos metu. Diskontuojant padengimo įmoką, gauname:

,

čia K – kreditas, suteiktas n metų, su palūkanų norma i, x – kreditą padengsianti įmoka.
Šią lygtį išsprendę kintamojo x atžvilgiu nesunkiai randame padengimo sumą:

.

Gautoji išraiška mums yra jau pažįstama. Akivaizdu, kad ši lygtis yra sudėtinių procentų formulė.

Dabar tarkime, kad kreditas padengiamas ne iš karto, o dalimis. Tarpinės sumos K₁, K₂, … mokamos praėjus terminams n_i (i =1, 2, …). Reikia nustatyti kam lygi galutinė įmoka X, mokama praėjus n metų. Diskontuodami padengimo įmokas pradiniam, t.y. kredito paėmimo momentui, gausime vertės lygtį:

Aptariamą klausimą pailiustruokime pavyzdžiais.
2.4 pavyzdys:             Draudėjas N, sudarantis su draudimo bendrove draudimo sutartį, privalo bendrovei sumokėti vienkartinę 40 000 Lt įmoką (premiją). Kadangi visos sumos draudėjas iš karto sumokėti negali, tai jis norėtų sumokėti pusę šios sumos iš karto, o likusius 20 000 Lt sumokėti pagal tokį planą: 10 000 Lt grąžinti po 2 metų, o paskutinę skolos dalį dar po metų, t.y. praėjus 3 metams nuo šios sutarties pasirašymo. Nustatykime paskutiniojo atsiskaitymo dydį, jei susitarta, kad įmokos atidedamos esant 6% metinių palūkanų normai.
Sudarykime lygtį, laikydami, kad pradinės įmokos dydis ir  palaipsniui grąžinama pinigų suma yra ekvivalenčios. Tam grąžinamas pinigų sumas diskontuojame skolos paėmimo momentui. Gauname lygtį:

.

Sutraukę laisvuosius narius ir šios lygties abi puses padauginę iš 1,06³ ir išreiškę x, gausime ekvivalenčią lygtį:

Galima pastebėti, kad naujoji lygtis taip pat yra vertės lygtis, tik užrašyta kitam palyginimo momentui – pasibaigus paskutinio mokėjimo terminui. Taip pertvarkant galime gauti vertės lygtį bet kuriam palyginimo momentui.
Iš bet kurios lygties randame, jog Lt.
Atsakymas: 13 220,32 Lt.
Analogiška vertės lygtis gali būti sudaryta ir tada, kai yra ne viena, o kelios tarpinės įmokos.
2.5 pavyzdys:             Draudėjas 60 000 Lt įnašą pageidauja sumokėti pagal tokį planą: 20 000 Lt sumokėti iš karto, 20 000 Lt po vienerių metų, dar 20 000 Lt po dvejų metų ir likusią įmokos dalį – po trejų metų. Nustatykime paskutiniojo atsiskaitymo sumos dydį, jei mokėjimai atidedami esant: a) 6% ir b) 12% metinių palūkanų normai.
Sudarykime vertės lygtis, diskontuodami įmokamas sumas pirmojo įnašo mokėjimo momentui, kai palūkanų normos yra 6% (a) variantas) ir 12% (b) variantas):
a) variantas               ;
b) variantas              .
Atlikę analogiškus pertvarkymus kaip ir 2.4 pavyzdyje, turėsime:
a) variantas               ;
b) variantas              .
Pastebėję, kad pastarosios lygtys yra paskutiniojo mokėjimo momentui užrašytos vertės lygtys, randame paskutinės įmokos dydį: a) X=3 968,64; b) X=8 709,12 Lt.
Atsakymas: paskutinė įmoka lygi: a) X=3 968,64; b) 8 709,12 Lt.