TARIFINIŲ ĮKAINIŲ SKAIČIAVIMAS

Solidarioji draudėjų atsakomybė ir įsipareigojimų ekvivalentumas
Šiame skyriuje pateiksime draudimo premijų skaičiavimo principus ir metodus, pagrindinį dėmesį kreipdami gyvybės draudimui. Skaičiuodami draudimo tarifinius įkainius remsimės specifinėmis gyvybės draudimo rentomis, kurios negali būti labai tiksliai apibrėžtos, nes yra sąlygojamos tam tikrų atsitiktinių įvykių. Rentos nario išmoka čia priklauso nuo atsitiktinio įvykio: draudėjo mirties ar, atvirkščiai, išgyvenimo iki tam tikro amžiaus, nelaimingo atsitikimo  ir pan.
Kaip jau minėjome gyvybės draudimo tarifai nustatomi remiantis draudimo statistikos metodais, dažnai vadinamais aktuariniais skaičiavimais.  Jų pagalba nustatoma, kokias sumas kiekvienas draudėjas privalo įnešti į bendrą draudimo fondą, kad surinktų įnašų sumos pakaktų draudimo įmonės ilgalaikiams finansiniams įsipareigojimams vykdyti. Daugeliu atvejų čia taikomas draudėjų solidariosios atsakomybės principas: finansinius įsipareigojimus vykdo visi draudėjai solidariai, o rezultatais naudojasi tik tam tikra, sutarties sąlygomis apibrėžta, jų dalis.
Aktuariniai skaičiavimai pradedami nuo neto premijos nustatymo. Skaičiuojant neto premijas, pirmiausia įgyvendinamas draudėjo ir draudiko įsipareigojimų ekvivalentumo principas. Tarkime, tikimybė įvykti draudimo įvykiui yra q. Tuomet neto premijos (toliau ją vadinsime tiesiog premija) dydis bus išmokėtos sumos S ir tikimybės q sandauga, t.y. P = S q. Tačiau jei premija P ir suma S bus nevienkartinės, tai tiek sukauptas premijas, tiek išmokėtas sumas galėsime išreikšti jų matematiniu vidurkiu. Sakykime, visų premijų matematinis vidurkis yra M(A), o visų išmokamų sumų matematinis vidurkis – M(S). Remdamiesi draudėjo ir draudiko įsipareigojimų ekvivalentumu, užrašome:

M(A) = M(S).

                      Reikia pabrėžti, kad premijos įmokamos, o draudimo sumos išmokamos ne vienu metu, o per tam tikrą laiką. Todėl mokėjimų srautai bus ekvivalentūs tik tuomet, kai šie srautai bus subalansuoti, t.y. kai bus įvertinta pinigų laiko vertė. Tai įgyvendinama apskaičiavus pinigų srautų dabartinę vertę.
Šiuos skaičiavimus nagrinėsime kiek vėliau, o dabar aptarsime išgyvenimo iki tam tikro amžiaus ir mirtingumo rodiklių vartojimo apskaičiuojant draudimo tarifus klausimą.
3.2.                               Mirtingumo lentelės ir komutaciniai skaičiai
Žmogaus gyvenimo trukmė priklauso nuo daugybės įvairiau­sių veiksnių, todėl pavienio žmogaus amžius yra atsitiktinis dydis. Žmogaus amžiui turinčių įtakos veiksnių įvairovė ir gausybė sudaro įspūdį, kad čia negali būti jokių dėsningumų. Tačiau taip yra tol, kol nagrinėjama pavienio individo gyvenimo trukmė. Demografijos mokslo nustatyta, kad kartų kaita, išreikšta skirtingo amžiaus žmonių mirtingumo lygio kitimu, vyksta pagal  tikimybių teorijoje gerai žinomą didžiųjų skaičių dėsnį (Bland, 1993).
Gyvybės draudimo praktikoje būtina žinoti žmonių mir­tingumo priklausomybę nuo jų amžiaus. Pateikti konkrečios žmonių visumos mirtingumo modelį nėra galimybių, nes didelį žmonių skaičių – šimtus tūkstančių ar milijonus individų stebėti gana ilgą laiką (apie 100 metų) dėl nuolat vykstančios migracijos, ypač kai ji sukeliama socialinių krizių, karų ir panašių reiškinių, yra nepaprastai sudėtinga. Todėl remiantis specialia metodika sudaromos vadinamosios mirtingumo lentelės, kurios pateikia abstrakčios žmonių visumos idealizuotą skaitmeninį išmirimo modelį.
Mirtingumo lentelių pagrindą sudaro iš 100 000 (kartais 1 000 000) pradinės gyventojų visumos kiekvienais metais likusių gyvų asmenų skaičių atitinkanti skaičių seka. Lentelėse priimta žymėti:
x – gyventojų amžių metais ;
l_x – x metų turinčių gyventojų skaičių;
d_x – per metus (tarp x ir x+1 metų) mirusių gyventojų skaičių;
q_x – tikimybę, sulaukus x metų, numirti  per ateinančius x+1 metus.
Šie dydžiai susiję tokiomis priklausomybėmis:

.

Pateiksime vyrų mirtingumo lentelės (žr. Priedas, 1 lent.) fragmentą1.

Tarkime, laikotarpio pradžioje (kai x=0) gimė 100 000 naujagimių. Iš lentelės2 galima nustatyti, kiek jų išgyveno iki tam tikro amžiaus. Pavyzdžiui, iki 20 metų išgyveno 98 581 (t.y. l₂₀  = 98 581), iki 40 m. – 92 553, iki 60 m. – 66 724,  iki 75 m. – 32 006 žmonės.
Tų pačių duomenų pagrindu sudaryta ir lentelės mirusiųjų skaičiaus d_x skiltis. Iš lentelės randame, kad vienerių metų nesulaukia 481 naujagimiai (d₀ = 481), 21 metų ne­sulaukia 65 dvidešimtmečiai (d₂₀ = 65), 41 metų nesulaukia 706 keturias­­dešimt­mečiai (d₄₀ = 706) ir t.t.
Turint tokius duomenis, nesunku apskaičiuoti ir tikimybę išgyventi iki tam tikro amžiaus arba to amžiaus nesulaukti. Tikimybė išgyventi dar bent vienerius metus yra:

.

Jeigu n – numatomų išgyventi metų skaičius, tai tikimybę išgyventi nuo x iki x + n metų žymėsime _n p_x . Ši tikimybė yra:

.

3.1 pavyzdys. Remdamiesi pateiktosiomis mirtingumo lentelėmis, ap­skai­čiuokime tikimybę 20-mečiui vyrui išgyventi bent vienerius metus ir tikimybę išgyventi jam iki 40 metų.
Sprendimas.
Iš pateiktųjų tikimybių formulių gauname:

;

.

Tikimybę numirti nesulaukus tam tikro amžiaus galima apskaičiuoti kaip priešingą tikimybę įvykiui išgyventi  iki to amžiaus:

.

 Gavome žinomą priklausomybę. Iš lentelių ran­dame:

q₂₀ = 0,00066,  t.y. 1 – 0,999341 = 0,000659.

Tikimybė numirti x metų amžiaus žmogui, kol jis sulauks  x+ n metų, yra:

.

Vadinasi, tikimybė 20-mečiui vyrui numirti iki jam sueis 40 metų yra tokia:

₂₀q₂₀ = 1– ₂₀p₂₀ = 1– 0,938852 = 0,061148,

arba

.

Dabar grįžkime prie premijų ir išmokų matematinių vidurkių apskaičiavimo. Gyvybės draudime kiekvieno įvykio tikimybė dažniausiai yra vis kitokia. Tikimybę įvykti draudimo įvykiui po n metų nuo draudimo pradžios pažymėkime q_n. Jeigu draudimo įvykis įvyks pirmaisiais metais, t.y. per vienerius metus po apsidraudimo, tai draudikas iš kliento gaus tik vieną premiją P, jei antraisiais metais, – 2P, jei n-taisiais metais, – nP. Pinigų srautą diskontuokime pirmojo mokėjimo momentui. Tokiu būdu galima sudaryti pinigų srautų seką, turinčią n įvairaus dydžio narių.

;

čia v – diskonto koeficientas su palūkanų norma i .
Tuomet per n metų kliento sumokėtų premijų matematinis vidurkis bus toks:

;

Dabar pereikime prie draudimo sumų S išmokėjimo mate­matinio vidurkio apskaičiavimo. Tarkime, šios sumos išmokamos metų, kuriais įvyko draudimo įvykis, gale. Tuomet pirmųjų metų išmokos matematinis vidurkis bus Sq₁, antrųjų metų ­– Sq₂, n-tųjų metų – Sq_n. Diskontuotų išmokų matematinis vidurkis bus toks:

.

Dabar belieka, kaip tai darėme šio skyriaus pradžioje, kliento sumokėtų premijų matematinį vidurkį prilyginti diskontuotų išmokų matematiniam vidurkiui.

M(A) = M(S).

Tarifinius įkainius pagal šias formules dažniausiai tenka apskaičiuoti įvairaus amžiaus asmenims ir esant įvairiems terminams. Dėl to tenka sudėti, dauginti ir dalyti ilgas mirtingumo lentelių skaičių sekas. Tarifus apskaičiuoti galima ir paprasčiau. Tam vartojami specialūs techniniai rodikliai – komutaciniai skaičiai, kartais vadinamus komutacinėmis funkcijomis. Sudarant komutacines funkcijas vartojami tokie žymėjimai:

;

;

;

;

.

Priminsime, kad:
x – žmogaus amžius;
l_x – x metų turinčių gyvų žmonių skaičius;
d_x – mirusių tarp x ir x +1 metų žmonių skaičius;
w – skaičiavimais įvertinamas ribinis kliento amžius.
Jei renta išmokama k kartų per metus, tai funkcija N_x pertvarkoma (be įrodymo). Postnumerando atveju:

.

Prenumerando atveju

.

Kaip matome, šie reiškiniai apskaičiuoti mirtingumo lentelių pradinių duomenų pagrindu. Jų reikšmės surašytos naujose mirtingumo lentelių skiltyse.

Komutaciniams skaičiams nevertėtų suteikti konkrečią prasmę. Juos reikėtų vertinti kaip grynai techninius, pagal­binius, skaičiavimą paleng­vinančius rodiklius. Nežiūrint to kai kada vaizdumo sumetimais ir komutacinėms funkcijoms  bandoma priskirti praktinį turinį. Pavyzdžiui, sandauga  l_x v^x sąlygiškai galėtų būti laikoma diskontuotu x metų turinčių asmenų skaičiumi.
3.3.                               Gyvybės draudimas. Tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas
Čia nagrinėsime gyvybės draudimo atvejį, kai draudėjas gauna sutartyje numatytą sumą tik sulaukęs nustatyto amžiaus. Jeigu klientas miršta anksčiau, draudikas atleidžiamas nuo bet kokių įsipa­reigojimų draudėjui. Tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas (kai kada vadinamas draudimu išgyvenimo atveju) taip pat įeina ir į mišrųjį gyvybės draudimą. Tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas priskiriamas prie grynojo kapitalo kaupiamo draudimo.
Kaip apskaičiuoti vienkartinę premiją tam tikro amžiaus sulaukimo draudimo atveju? Samprotaukime taip: visi asmenys, sulaukę x metų amžiaus, vienu metu sudaro draudimo sutartį, kad, jei jie išgyvens dar n metų, tai gaus 1 lito (1 šimto, 1 tūkstančio ir t.t. litų)  išmoką. Konkretumo dėlei tarkime, kad draudimo sutartį 10 metų sudaro visi 40-mečiai vyrai. Jų, remiantis mūsų pateiktomis mirtingumo lentelėmis, yra 92 553. Iš tų pačių lentelių randame, kad 50 metų sulauks 82 887 asmenų. Kiekvienam iš jų teks išmokėti po 1 Lt, todėl susidarys 82 887 Lt suma. Tačiau šią sumą reikės išmokėti tik po 10 metų, todėl jos dabartinė vertė, esant, tarkime, 3,5% palūkanų normai, yra tokia:

Lt.

Kad būtų sukaupta apskaičiuotoji 58 760 Lt suma, iš kiekvieno besidraudžiančio kliento dabar reikia paimti po  Lt. Vadinasi, kad 40-metis draudėjas po 10 metų gautų 1 Lt, dabar jis turi sumokėti beveik 64 ct, o kad gautų, pavyzdžiui, 1 000 Lt – 634 Lt ir 88 ct. Ši suma yra vienkartinė neto premija. Bruto premija bus didesnė negu neto. Apie bruto premiją kalbėsime vėliau.
Šiuo pavyzdžiu parodėme, kaip veikia draudėjų solidarios atsakomybės principas. Iš čia matome, kad klientas, sulaukęs sutartyje numatyto amžiaus, tam tikrą dalį išmokamos draudimo sumos gauna kitų, jau mirusių, draudėjų sąskaita. Jei mūsų pavyzdyje 1 000 Lt apsidraudęs asmuo draudimo išlaidas turėtų padengti pats vienas, tai jam būtų tekę įmokėti ne 634,88 Lt, bet 708,92 Lt.
Apibendrinus ankstesnius samprotavimus, galima teigti, kad vienkartinė neto premija tam tikro amžiaus sulaukimo (išgyvenimo) draudimo atvejui yra draudimo laikui diskontuotas draudimo sumos matematinis vidurkis:

.

Padauginę skaitiklį ir vardiklį iš v^x  ir, pritaikę anksčiau aptartus žymėjimus, turėsime:

;

čia  – neto premijos dydis, draudžiantis x metų asmeniui, kad jis sulauks x+n metų;
R – sumos, išmokamos išgyvenus iki nustatyto laiko, dydis;
v – diskonto koeficientas;
n – metų skaičius, kuriems praėjus išmokamas draudimas (išgyvenimo trukmė);
l_x ir l_x+n – x ir x+n metų amžiaus asmenų skaičius.
Matome, kad vienkartinėms premijoms tam tikro amžiaus sulaukimo atveju apskaičiuoti draudimo anuitetų nereikėjo.
3.4.                               Pensijų draudimas. Pensijų tarifų apskaičiavimas
Pastaruoju metu vis labiau populiarėja nevalstybiniai pensijų fondai. Jie remiasi ilgalaikio investavimo principu, kur pradžioje gana ilgą laiką konkrečių asmenų lėšos akumuliuo­jamos ir patikimai kur nors, pavyzdžiui į valstybės vertybinius popierius, investuo­jamos, o vėliau išmokamos pensijų pavidalu.
Atmetus juridinius ir kitus klausimus, pagrindinis nevalstybinių pensijų fondo reikalavimas ir sėkmingos veiklos garantas yra kiekvieno fondo dalyvio įmokėtų įnašų ir gautų atlyginimų subalansuotumas. Tik išmokų ekviva­lentumas įmokoms garantuoja, jog visi ilgalaikiai fondo įsiparei­gojimai bus įvykdyti. Įmokų ir išmokų ekvivalentumas įgyvendinamas specifiniais metodais – aktuariniais skai­čiavimais.
Su draudimo bendrove ar pensijų fondu galima susitarti (sudaryti sutartį), kad draudėjas palaipsniui ar iš karto sumokės bendrovei tam tikrą sumą pinigų, o bendrovė draudėjui vėliau kasmet mokės pastovų atlyginimą, vadi­namą pensija. Mes ją dažniausiai vadin­sime renta. Renta gali būti iki gyvos galvos, kai ji sustabdoma draudėjui mirus, ir termininė, kai mokama iki draudėjas pasiekia nustatytą amžių.
Draudimo įmokos (premijos) paprastai būna vienkartinės ir periodinės. Periodinės įmokos būna metinės arba dažnesnės. Mes, paprastumo sumetimais, daugiausia dėmesio skirsime metinėms periodinėms įmokoms.
Vienkartiniai draudimo įnašai įmokami draudimo termino pradžioje. Kitaip tariant, vienkartinio įnašo atveju draudėjas, sudarydamas sutartį, iškart įvykdo visus įsipareigojimus draudikui. Dėl to sutartis toliau galioja nemo­kant jokių įnašų.
Periodinių (metinių) įmokų atveju draudėjas palaipsniui padengia įsipareigojimus draudikui. Įnašai mokami vieną kartą per metus. Praktikoje yra dažnos  ir mėnesio premijos.
Be šių įmokų galimas ir mišrus atvejis, kai įmokos yra nevienkartinės, bet ir neperiodinės.
3.5.                               Renta iki gyvos galvos. Vienkartinių premijų apskaičiavimas
Išnagrinėkime prenumerando išmokamą rentą. Tarkime, draudėjas dabar sumoka tam tikrą pinigų sumą, t.y. premiją a_x tam, kad iš draudiko kiekvienų metų pradžioje iki gyvos galvos gautų po 1 litą. Nustatykime tokios rentos tarifinį mokestį arba tos rentos dabartinę vertę.
Įgyvendinant tokią sutartį, draudikas pirmųjų metų pradžioje turi sumokėti draudėjui 1Lt. Jei draudėjas išgyvens pirmuosius metus, tai antrųjų metų pradžioje draudikas išmokės dar 1 Lt ir t.t.
Jei asmuo apsidraudė turėdamas x metų, tai tikimybė, kad jis išgyvens pirmuosius po apsidraudimo metus, yra:

.

Iš čia matome, kad matematinė viltis, jog draudėjas antrųjų metų pradžioje gaus 1Lt, yra

Šią sumą draudikas išmokės po metų, tuo tarpu draudėjas savo premiją turi mokėti dabar, todėl gautąją sumą dar reikia diskontuoti. Tokiu atveju gausime:

;

čia v – diskonto koeficientas, atitinkantis palūkanų nor­mą i.
Analogiškai tikimybė, kad draudėjas sulauks  trečiųjų metų pradžios (išgyvens antruosius metus) yra . Todėl iš kliento šiuo momentu paimtina suma yra

.

Šitokius samprotavimus tęsiame tol, kol mirtingumo lentelėje baigiasi l_x skiltis, t.y. tol, kol pasiekiamas ribinis kliento amžius w.  Sudėję visas gautas sumas, gausime skaičiuojamąją premiją a_x, t.y. sumą, kurią draudėjas turi sumokėti dabar, kad kasmet, kol gyvas, gautų po 1 Lt.

.

Kiekvieną šios lygybės dešiniosios pusės narį padauginę ir padaliję iš v^x, gausime:

.

Sandauga  l_x v^x sąlygiškai laikoma diskontuotu x metų turinčių asmenų skaičiumi. Kaip minėta, šis skaičius mir­tingumo lentelėse žymimas simboliu D_x. Analogiškai sandauga l_x+m·v^x+m = D_x+m. Įstačius žymėjimus, gausime:

.

Pavartojus šiuos simbolius, galima imtis kitų komutacinių funkcijų. Kadangi , tai kliento sumokama vienkartinė neto premija a_x, apskaičiuota naudojantis komu­tacinėmis funkcijomis, prenumerando atvejui yra tokia:

Būtina atkreipti dėmesį į tai, kad lemiamos įtakos tarifinio įkainio didumui turi palūkanų norma i, įeinanti į diskonto koeficientą. Kadangi diskonto koeficientas , tai didėjant palūkanų normai jis mažėja, o kartu mažėja ir kiekvieno sumos nario reikšmė bei įmoka a_x. Priešingai, mažinant palūkanų normą, įmoka a_x didėja. Mūsų skaičiavimuose palūkanų norma lygi 3,5%.
3.2 pavyzdys. Apskaičiuokime vienkartinės premijos dydį 65 metų vyrui, norinčiam iki gyvos galvos gauti metinę prenumerando mokamą 2 500 Lt rentą.
Sprendimas.
Remiantis (3.2) formule, galima užrašyti:

 Lt.

Taigi neto premija 65 metų vyrui, norinčiam iki gyvos galvos gauti kasmetinę prenumerando mokamą 1 Lt vertės rentą, yra 9,88455 Lt. Jeigu kasmet bus išmokamas ne 1 Lt, o 2 500 Lt renta, tai vienkartinė premija bus 2 500 kartų didesnė:

9,88455 · 2 500 = 24 711 Lt.

Gautoji 24 711 Lt suma bus neto premija. Tačiau draudimo bendrovės negali tenkintis vien neto premijomis. Joms reikia lėšų organizacijos veiklai palaikyti (draudimo procesui organizuoti, profilaktinėms priemonėms ir reklamai finansuoti, draudimo bendrovės pelnui užtikrinti, rezerviniams fondams sukurti ir kt.). Savo skaičiavimuose mes laikysime, kad tokios lėšos sukaupiamos imant tam tikrą procentą nuo neto premijos. Taip iš neto premijos gausime bruto premiją.
3.3 pavyzdys. Apskaičiuokime vienkartinės premijos dydį 60 metų vyrui, norinčiam iki gyvos galvos gauti metinę prenumerando mokamą 5 000 Lt rentą, jei pridėtinės išlaidos sudaro 12% neto premijos.
Sprendimas.
Remiantis (3.2) formule gauname:

Lt.

Taigi prenumerando mokama neto premija 1 lito rentos atveju yra 11,40888 Lt. Priskaičiavus 12% pridėtinių išlaidų, gau­nama:

11,40888 · 1,12 = 12,77795 Lt.

Norint gauti metinę 1 Lt rentą, draudikui reikia sumokėti 12,77795 Lt, o norint gauti  5 000 litų rentą

12,77795· 5 000 = 63 889,76 Lt.

Praktikoje draudimo atlyginimai dažnai išmokami kas mėnesį, kiekvieną kartą mokant 1/12 metinės sumos. Mokant draudimo atlyginimus prenumerando, vietoj (3.2) formulės vartojama tokia (be įrodymo):

3.4 pavyzdys. Apskaičiuokime vienkartinės premijos dydį 60 metų vyrui, norinčiam iki gyvos galvos gauti metinę prenumerando mokamą 5 000 Lt rentą, išmokant ją lygiomis dalimis kas mėnesį, jei pridėtinės išlaidos sudaro 12% neto premijos.
Sprendimas.

Lt.

Lt.

Matome, kad premija, kai renta mokama kas mėnesį prenumerando, yra didesnė, negu tuo atveju, kai renta mokama kasmet.

Dabar išnagrinėkime iki gyvos galvos metų pabaigoje (postnumerando) išmokamą rentą. Ji gali būti apskaičiuota lygiai taip pat, kaip ir prenumerando renta. Tačiau mes pasinaudokime jau atliktais skaičiavimais. Šiuo atveju samprotaukime taip: pirmoji suma bus išmokėta pirmųjų metų gale arba antrųjų metų pradžioje, antroji – trečiųjų metų pradžioje ir t.t. iki paskutinio lentelės nario. Palyginę šią rentą su analogiška prenumerando mokama renta, matome, kad čia netenkama pirmosios išmokos, t.y. 1 lito, kuris pre­numerando atveju buvo mokamas pirmųjų metų pradžioje.
Taigi postnumerando mokamos rentos skaičiuojamoji premija  lygi atitinkamai prenumerando mokamos rentos premijai a_x , sumažintai vienu litu:

.

Kadangi , tai atėmus iš šios sekos pir­mąjį narį D_x gautosios trupmenos skaitiklis bus . Įrašę jį gausime, jog kliento sumokama vien­kartinė neto premija , apskaičiuota naudojantis komutacinėmis funkcijomis, postnumerando atveju yra tokia:

3.5 pavyzdys. 60 metų amžiaus asmuo įmokėjo draudimo bendrovei 60 000 Lt, kad iki gyvos galvos gautų postnumerando išmokamą rentą. Kokio dydžio yra ši renta, jeigu bendrovė dar ima 12% priedą.
Sprendimas.
Remdamiesi (3.4) formule galime užrašyti:

Lt.

Jei draudimo bendrovė ima 12% priedą, tai tam, kad klientas gautų 1 Lt metinę rentą, jis turi įmokėti 1,12 karto didesnę sumą, t.y.

10,40888·1,12 ≈ 11,65795 Lt.

Kita vertus, klientas, įmokėjęs 11 Lt 66 ct, gaus 1 Lt dydžio metinę rentą, tuo tarpu įmokėjęs 60 000 Lt jis turi gauti proporcingai didesnę sumą.

 Lt.

Vadinasi draudėjas, įmokėjęs 60 000 Lt vienkartinę premiją, po vienerių metų, pradės gauti ir gaus iki gyvos galvos kasmetinę 5 146 Lt 70 ct rentą.
3.6.                               Atidėtoji renta. Vienkartinių premijų apskaičiavimas
Iki šiol nagrinėtų rentų kilme  buvo laikoma vienkartinės premijos įmokėjimo (sutarties sudarymo) data, o pati renta buvo pradedama įgyvendinti iš karto. Dabar išnagrinėkime atvejį, kai renta pradedama mokėti ne iš karto, o praėjus n metų po draudimo sutarties sudarymo. Tokią rentą vadinsime n metų atidėtąja renta.
Tarkime, x metų turintis asmuo įmoka vienkartinę premiją ir sudaro sutartį, jog jis, praėjus n metų po premijos įmo­kėjimo, pradės gauti ir toliau kasmet iki gyvos galvos gaus 1 lito rentą. Apskaičiuokime tokios prenumerando mokamos neto premijos dydį.
Čia samprotaukime taip: pirmaisiais metais po n metų 1Lt dabartinė vertė bus , antraisiais – , pagaliau klientui sulaukus w metų (w – mirtingumo lentelėse numatytas ribinis kliento amžius) 1 Lt dabartinė vertė bus  .
Susumavę visų rentos narių dabartines vertes, gausime n metų atidėtos rentos vienkartinės premijos dydį :

.

Kiekvieną šios lygybės dešiniosios pusės narį padauginę ir padaliję iš  ir pritaikę ankstesnius žymėjimus, gausime n metų atidėtos ir prenumerando iki gyvos galvos mokamos rentos vienkartinės premijos išraišką:

3.6 pavyzdys. Apskaičiuokime vienkartinės premijos dydį 50 metų asmeniui, norinčiam nuo 60 metų amžiaus iki gyvos galvos gauti metinę prenumerando mokamą 5 000 Lt rentą, jei draudimo bendrovės pridėtinės išlaidos sudaro 12% neto premijos.
Sprendimas.
Pasinaudoję (3.5) formule, gausime:

.

Bruto premija bus 12%, t.y. 1,12 karto didesnė:

6,510818·1,12= 7,292116.

Jei 1 Lt premijai reikia įmokėti 7,292116 Lt, tai 5 000 Lt premijai –

7,292116·5 000 = 36 460,58 Lt.

Lygiai tokiu pat būdu gali būti nustatyta ir n metų atidėta postnumerando mokama vienkartinė premija. Ji bus  tokia (be įrody­mo):

3.7.                               Atidėtoji renta. Metinių premijų apskaičiavimas
Atidėtoji renta gali būti įgyvendinama mokant ne tik vienkartines premijas, bet ir metines įmokas. Tos įmokos gali būti mokamos per visą atidėtąjį laikotarpį arba tik per kurią nors  jo dalį.
Grįžkime prie (3.5) formulės. Turėjome, kad prenumerando iki gyvos galvos mokamos, n metų atidėtos rentos vienkartinė premija yra  . Tar­kime, šią sumą klientas pageidauja sumokėti per n atidėtųjų metų, kad po to iki gyvos galvos galėtų gauti 1 Lt rentą. Diskon­tuodami visas metines įmokas, apskai­čiuokime tokios rentos metinę premiją P_x.
Pirmoji įmoka P_x bus įmokėta pirmųjų metų pradžioje, todėl jos dabartinė vertė ir liks tokia pati. Antroji įmoka bus įmokėta antrųjų metų pradžioje, todėl jos dabartinė vertė bus

.

Trečiąją įmoką klientas įmokės trečiųjų metų pradžioje, todėl jos dabartinė vertė bus

.

Paskutiniąją įmoką klientas įmokės n–tųjų metų pradžioje, todėl jos dabartinė vertė bus

.

Vadinasi, per n metų įmokėtų premijų dabartinių verčių suma turi būti lygi prenumerando mokamai atidėtajai rentai , t.y.

.

Skliaustuose esančių trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginus iš v^x ir subendravardiklinus, galima pereiti prie komutacinių funkcijų:

,

.

Kad galėtume sutraukti panašius narius, lygties kairiojoje pusėje pridėkime ir atimkime sumą. Tuomet
;

Iš čia gausime rentos metinės prenumerando premijos P_x dydį:

Draudėjui pageidaujant, įmokos (premijos) gali būti mokamos ne visą atidėtąjį rentos laikotarpį, o tik m metų (m<n). Tuomet toje lygties dalyje, kur apskaičiuojamas diskontuotas premijos dydis, n pakeitę į m ir atlikę kitus pertvarkymus, gauname:

;

Iš čia gauname n metų atidėtos rentos, kai įmokos mokamos pir­muosius m metų, metinės prenumerando premijos apskai­čiavimo formulę:

3.7 pavyzdys. 50-metis vyras  kasmet iki sulauks 60 metų prenumerando moka 10 997,65 Lt dydžio premijas. Jis nori nuo 60 metų iki gyvos galvos gauti kasmetę rentą. Kokio dydžio bus jo renta, jei draudimo bendrovė priskaičiuoja 12% pridėtinių išlaidų?
Pagal  (3.8) formulę apskaičiuojame metinės premijos dydį, kai x = 50, n = 10.
Lt.
Metinė bruto premija yra 1,12·0,81828 = 0,91647 Lt. Šią sumą reikėtų kasmet sumokėti, kad nuo 60 metų iki gyvos galvos kasmet būtų gaunama 1 Lt rentos. Kadangi metinė įmoka 10 997,65 Lt, tai metinė renta yra

10 997,65:0,91647 = 12 000 Lt.

3.8 pavyzdys. 50-metis vyras nori nuo 60 metų iki gyvos galvos gauti kasmetę 12 000 Lt rentą. Kokio dydžio turėtų būti kasmetė prenumerando premija, jei jis nori ją mokėti pirmuosius 5 metus, o draudimo bendrovės pridėtinės išlaidos 12%?
Sprendimas.
Pagal  (3.10) formulę apskaičiuojame metinės premijos dydį, kai x = 50, n = 10, m=5.
Lt.
Įvertiname pridėtines išlaidas: 1,439479·1,12= 1,612217 Lt.
Norint gauti ne 1, o 12 000 Lt, kasmetė bruto premija turi būti 12 000 kartų didesnė: 1,612217·12 000 = 19 346,60 Lt.
3.8.                               Termininė renta
Renta iki gyvos galvos mokama iki pat kliento mirties, tuo tarpu termininė renta mokama tik nustatytą laiką, t.y. tol, kol draudėjas sulaukia tam tikro amžiaus. Pastarosios rentos mokėjimo pagrindu gali būti vienkartinė premija arba metinių premijų  seka.
Išnagrinėkime x metų amžiaus klientui per n metų prenumerando išmokamą metinę termininę rentą, kai ji padengiama vienkartine premija.
Tarkime, pirmųjų metų pradžioje draudimo bendrovė sumoka 1 Lt. Jo dabartinė vertė taip pat 1Lt. Antrųjų metų pradžioje sumokėto 1 Lt dabartinė vertė yra . Trečiųjų metų pradžioje sumokėto lito dabartinė vertė yra   ir t.t. Pagaliau n-tųjų metų pradžioje sumokėto lito dabartinė vertė yra . Susumavę visus narius ir atlikę jau įprastus per­tvarkymus, gausime vienkartinę neto premiją :

.

Skaitiklyje pridėję ir atėmę sumą, gausime per n metų prenumerando išmokamos termininės rentos neto premijos ap­skaičiavimo formulę:

Analogiškai per n metų postnumerando išmo­kamos ter­mininės rentos neto premijos apskaičiavimo formulė (be įrodymo) yra tokia:

3.9 pavyzdys. 60 metų vyras sudaro tokią sutartį: jis draudimo bendrovei įmoka 50 000 Lt, o ši kasmet iki 75 metų amžiaus postnumerando  išmoka jam rentą. Kokio dydžio turėtų būti metinė renta, jei draudimo bendrovės pridėtinės išlaidos 12%?
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x = 60, n_t = 15.

Lt.

Įvertiname pridėtines išlaidas: 8,704637·1,12= 9,749191 Lt.
Kadangi įmoka yra 50 000 Lt, tai metinė renta –

50 000:14,9940 = 5 128,63 Lt.

Termininė atidėtoji renta

Termininė atidėtoji renta yra tada, kai ji išmokama po n metų per kitus m metų. Tokios prenumerando išmokamos rentos vienkartinę neto premiją apskaičiuojame taip:
.
Atlikę įprastus pertvarkymus gauname:

Postnumerando išmokamos rentos vienkartinę neto premiją apskaičiuojame analogiškai:
.

3.10 pavyzdys. 60 metų vyras sudaro tokią sutartį: jis draudimo bendrovei įmoka 50 000 Lt, o ši kasmet nuo 65 iki 75 metų amžiaus prenumerando  išmoka jam rentą. Kokio dydžio turėtų būti renta, jei draudimo bendrovės pridėtinės išlaidos 14%?
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x=60; n=5; m=10. Remiantis (2.13) formule turėsime:

 Lt.

Įvertinus draudimo bendrovės pridėtines išlaidas, vienkarti­nė bruto premija gaunama tokia:

5,021417·1,14= 5,724416 Lt.

Kadangi vienkartinė įmoka lygi 50 000 Lt, tai metinė renta

50 000:5,724416 = 8 734,51 Lt.

3.9.                               Draudimas mirties atveju
Draudimas mirties atveju priskiriamas prie grynojo gyvybės rizikos draudimo. Grynosios gyvybės rizikos draudimas praktikoje nėra dažnas – jis sudaro tik nedidelę visų gyvybės draudimo sutarčių dalį. Reikia pastebėti, kad didėjant žmogaus amžiui didėja ir tikimybė per artimiausius ateinančius metus įvykti draudimo įvykiui. Dėl to didėja ir draudimo premija. Su metais premijos dydis tiek išauga, kad draustis tampa netiks­linga. Ši riba parastai yra artima 85 metams (Čepinskis, 1999).
3.3 skyrelyje nagrinėjome gyvybės draudimą, kai draudėjas gauna draudimo atlyginimą tik išgyvenęs iki (sulaukęs) sutartyje numatyto amžiaus. Tokio draudimo atveju klientui mirus anksčiau draudikas buvo atleidžiamas nuo bet kokių įsipareigojimų vykdy­mo. Dabar išnagrinėkime draudimą kliento mirties atveju. Šis draudimas apima tokius galimus atvejus:

• besąlyginis draudimas – kai draudimas po draudėjo mirties išmokamas bet kuriuo atveju;
• atidėtas mirties draudimas – draudimas išmokamas, kai mirštama sudarius sutartį po tam tikro (atidėto) laiko;
• termininis mirties draudimas – draudimas išmokamas, kai mirštama per artimiausius n metų;
• atidėtas termininis mirties draudimas – draudimas išmokamas, kai mirštama praėjus t metų po sutarties sudarymo per likusius n metų.

Draudžiant mirties atveju apdraustojo mirtis yra ta sąlyga, kuriai esant turi būti išmokama draudimo suma. Dėl to išmokos dydis priklauso nuo mirčių skaičiaus per atitinkamą laikotarpį (metus).
Žinome, kad tikimybė asmeniui, turinčiam x metų, nu­mirti per ateinančius (x+1)-sius gyvenimo metus yra , o tikimybė tam pačiam asmeniui, pragyvenus dar n metų,  numirti per ateinančius -sius jo gyvenimo me­tus yra .
Tarkime, kad draudimo sutartis sudaroma, kai draudėjas turi x metų. Jei draudėjas mirs pirmaisiais metais po apsidraudimo, o draudimo suma 1 Lt bus išmokėta tų metų gale, tai įvertinus draudimo įvykio tikimybę, draudimo išmokos dabartinė vertė bus

.

Jei draudimo įvykis atsitiks antraisiais metais, tai išmokos dabartinė vertė bus

.

Jei draudimo įvykis įvyks trečiaisiais metais, tai analogiška išmokos reikšmė bus

.

Klientui sulaukus w -1 metų, t.y. likus vieneriems metams iki ribinio amžiaus, išmokos dabartinė vertė bus

.

Pagaliau klientui sulaukus ribinio amžiaus, t.y. w metų, iš­mokos dabartinė vertė bus

.

Tokiu būdu premijos a_x dydis bus

.

Šios lygties trupmeninių narių skaitiklius ir vardiklius padauginus iš v ^x turėsime

.

Panaudoję 3.2 skyrelyje aptartus žymėjimus  ;   ir , turėsime

;

.

Jei bus išmokamas ne 1 Lt, o suma S, tai premija A_x bus anksčiau apskaičiuotoji premija padidinta S kartų: , arba

Draudimo įmonės yra nesuinteresuotos, kad silpnos sveikatos asmenys gyvybę draustųsi bendrais pagrindais. Siekdamos išvengti padidėjusio mirtingumo pirmaisiais metais po apsi­drau­dimo, jos tam tikram laikui (po sutarties sudarymo) atideda draudimo išmokėjimą. Dėl to komutacinė funkcija M_x yra perstumiama nustatytu dydžiu. Jei x  metų amžiaus asmeniui mirties draudimas atidedamas n metų, tai komutacinės funkcijos reikšmė nustatoma imant jos argumentą lygų , t.y. komutacinis skaičius M_x apskaičiuojamas -tiesiems me­tams.
Vien­kar­ti­nės premijos _nA_x dydis n metų atidėtos rentos atveju bus

3.11 pavyzdys. Apskaičiuokite vienkartinės premijos dydį  draudžiant gyvybę 50 metų asmeniui 10 000 Lt sumai: a) kai draudimas išmokamas pirmaisiais metais po draudėjo mirties; b) kai draudimas išmokamas su sąlyga, jei jis mirs ne anksčiau, kaip po 5 metų nuo sutarties pasirašymo.
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą a): x=50; M₅₀=7580,27; D₅₀=14841,20.

 Lt;

Lt.

Pagal uždavinio sąlygą b): x=50; n=5; M₅₅ = 6414,24; D₅₀=14841,20.

 Lt;

 Lt.

Tai reiškia, kad, (a atveju) sumokėjus 5 107,59 Lt neto premiją, bet kuriuo metu numirus klientui, jo paveldėtojai (naudos gavėjai) gaus 10 000 Lt išmoką. Antrasis b atvejis parodo, kad 10 000 Lt draudimo suma bus išmokama tik tuo atveju, jei draudėjas numirs ne anksčiau, kaip po 5 metų. Šiuo atveju neto premija lygi 4 321,91 Lt.
Termininis mirties draudimas
Termininio mirties draudimo vienkartinės premijos dydis bus randamas kaip skirtumas draudimo iki gyvos galvos premijos A_x ir atidėtos mirties draudimo premijos .

;

3.12 pavyzdys. 50 metų asmuo sudaro su draudimo bendrove sutartį, kad jo paveldėtojai gaus 10 000 Lt draudimo sumą tuo atveju, jei jis numirs per ateinančius 10 metų. Apskaičiuokite vienkartinės premijos dydį.
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x = 50; S = 10 000; n_t = 10

Lt.

Draudėjas, sumokėjęs 1 602,52 Lt vienkartinę neto premiją, užsitikrina, kad, jam mirus per ateinančius 10 metų, jo pavel­dėtojai (naudos gavėjai) gaus 10 000 Lt draudimo sumą.
Metinės premijos mirties atveju
Vienkartinės įmokos apsidraudusiųjų mirties atveju gali būti pakeistos periodinėmis (metinėmis). Taip mes jau darėme skaičiuodami rentą iki gyvos galvos. Tokios rentos metines premijas turėjome susietas (3.9) lygybe

.

Pastarosios lygybės dešiniąją pusę pakeitę termininio mirties draudimo išraiška gausime
.
Iš čia metinės premijos P_x draudžiantis n metų terminui bus

3.13 pavyzdys. Apskaičiuokite metinės premijos dydį 50 metų asmeniui draudžiantis 10 000 Lt sumai mirties atvejui 5 metų terminui: draudimas išmokamas, jei mirštama per artimiausius 5 metus.
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x = 50; S = 10 000; n = 5
.
Gavome premijos dydį, mokamą draudžiantis vienam litui. Kadangi draudžiamasi 10 000 Lt sumai, tai gautoji reikšmė turi būti padidinta 10 000 kartų

0,017370×10 000=173,70 Lt.

Ši 173,70 Lt suma turi būti mokama kasmet iki sueis 5 metai. Jei per tuos 5 m. draudėjas mirtų, tai jo paveldėtojai gautų 10 000 Lt, o jei jis tuos metus išgyventų, tai jis negautų nieko.
3.10.                           Premijų apskaičiavimas draudžiant gyvybę mišriuoju draudimu
Mišrus gyvybės draudimas  yra dažniausiai praktikuojama gyvybės draudimo rūšis. Pensinis draudimas bei  tam tikro amžiaus sulaukimo draudimas taip pat gali būti priskiriami mišriam gyvybės draudimui. Pagal draudimo sutartyje  numatytas sąlygas mišrus draudimas gali turėti daug įvairiausių variantų. Dažniausiai paplitusi yra draudimo sutartis, kai draudėjas įsipareigoja periodiškai (kasmet, kas 3 mėnesius arba kas mėnesį) mokėti tam tikro dydžio draudimo įmoką, o draudimo bendrovė pasižada sutartyje numatytu laiku (dažniausiai draudėjui sulaukus pensinio amžiaus) išmokėti sutartyje numatytą sumą. Išmokama draudimo suma gali būti vienkartinė (pvz., vestuvinis draudimas) arba periodinė (pvz., pensinis draudimas). Pastaroji dažniausiai yra mokama kas mėnesį iki draudėjo mirties. Jei draudėjas miršta nesulaukęs sutartyje numatyto termino, tai draudimo suma išmokama sutartyje nurodytiems naudos gavėjui arba draudėjo turto paveldėtojui.
Praktikoje egzistuoja daug įvairiausių mišraus gyvybės draudimo sutarčių: gali būti ne vienas, o du draudėjai, sutartyje gali būti numatytas nedarbingumo ir nelaimingų atsitikimų rizikos draudimas ir pan.
Išnagrinėkime tipinį mišriojo gyvybės draudimo atvejį, kai draudėjas moka vienkartinę ar periodines premijas, o draudimo įmonė moka draudimo sumą tiek mirties, tiek išgyvenimo atveju. Dėl to reikia žinoti premijų dydžius tam tikro amžiaus sulaukimo ir mirties atveju ir šias premijas sudėti. Ši operacija supaprastėja panaudojus komutacines funkcijas. Kaip jau buvo minėta, šiuo atveju draudikas išmoka draudimo sumą tiek draudėjui sulaukus x + n metų, tiek jam numirus iki sueis x + n metų.
Pirmiausia imkime vienkartinės premijos atvejį. Kaip žinome vienkartinė premija tam tikro amžiaus sulaukimo (išgyvenimo) atveju, kai draudžiamasi 1 Lt sumai, yra (3.1) formulė

.

                      Termininio mirties draudimo vienkartinė premija, kai draudžiamasi tai pačiai 1 Lt sumai, apskaičiuojama remiantis (3.17) formule

Sudėjus šias abi premijas gausime formulę, pagal kurią galima nustatyti vienkartinės premijos dydį draudžiantis mišriuoju draudimu, t.y. draudimu, pagal kurį draudėjas gauna draudimo išmoką tiek sulaukęs nustatyto amžiaus, tiek jam numirus iki šis amžius sukaks.

3.14 pavyzdys. Apskaičiuokite vienkartinės neto premijos dydį 50 metų asmeniui draudžiantis mišriuoju gyvybės draudimu 5 metams 10 000 Lt sumai.
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x = 50; n = 5; S = 10 000.

.

Gavome premijos dydį, mokamą draudžiantis vienam litui. Kadangi draudžiamasi 10 000 Lt sumai, tai gautoji reikšmė turi būti padidinta 10 000 kartų, t.y.

0,847046×10 000=8 470,46 Lt.

                      Taigi draudžiantis mišriuoju draudimu 50 m. asmeniui 5 metų laikotarpiui 10 000 Lt sumai reikia mokėti vienkartinę 8 470,46 Lt neto premiją.
Gyvybės mišriojo draudimo metinių premijų, mokamų m pirmųjų metų, dydis P_x randamas žinomu būdu: formulėje (3.7) dešiniąją pusę pakeičiant mišriojo draudimo vienkartine premija

.

Iš čia metinės premijos P_x, mokamos m pirmųjų metų, dydis, kai draudžiamasi mišriuoju draudimu n metų laikotarpiui (m<n), bus

3.15 pavyzdys. Apskaičiuokite metinių neto premijų, išmokamų per 5 metus, dydį 50 metų asmeniui draudžiantis mišriuoju gyvybės draudimu 10 metų 10 000 Lt sumai.
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą x = 50; n = 10; m = 5; S = 10 000.

0,1616019.

Apskaičiuotasis premijos dydis mokamas draudžiantis vienam litui. Kadangi draudžiamasi 10 000 Lt sumai, tai gautoji reikšmė turi būti padidinta 10 000 kartų, t.y.

0,1616019×10 000=1616,02Lt.

Ši suma turi būti mokama 5 metus. Draudėjas gaus draudimo išmoką tiek praėjus nustatytam 10 metų terminui, tiek jam numirus iki šis laikas praeis.
3.11.                           Premijų apskaičiavimas draudžiant nuo nelaimingų atsitikimų
Mišriajame gyvybės draudime be išgyvenimo iki nustatyto amžiaus ir apsidraudusiųjų mirties gali būti įvertinama ir galimybė dėl nelaimingo atsitikimo dalinai ar pilnai netekti darbingumo.
Nelaimingu atsitikimu laikomas įvykis, jei jis nutinka judant transporto priemonei, dirbant mašinai (staklėms, įrengimui ar kitam mechanizmui), naudojant ginklą, dėl sprogimo, nudegimo, nušalimo, staigaus apsinuodijimo, gyvulio užpuolimo, nusken­dimo ir pan. Nelaimingą atsitikimą įvairių šalių norminiai aktai apibrėžia šiek tiek skirtingai. LR įstatymai nelaimingą atsitikimą apibrėžia kaip atsitiktinį, ūminį apsinuodijimą ar staigų įvykį, kurio metu prieš apdraustojo valią veikianti fizinė jėga (smūginis, terminis, nuodingųjų dujų, elektrinis ar kitas fizinis poveikis) pakenkia apdraustojo sveikatai ar tampa jo mirties priežas­timi (Čepinskis, 1999).
Nelaimingu atsitikimu, o tuo pačiu ir draudiminiu įvykiu, paprastai nėra laikomas sveikatos sutrikimas atsiradęs dėl ilgalaikio išorinių jėgų poveikio (pvz., dėl lėtinio apsinuo­dijimo), dėl vidinių, nuo žmogaus nepriklausančių, procesų (pvz., išsivysčiusio infarkto ar apkurtimo), dėl sąmoningo savęs suluošinimo (pvz. savižudybės ar tyčinio savęs sužalojimo). Draudiminiu įvykiu nelaikomi nelaimingi atsitikimai ar sveikatos sutrikimai atsiradę draudėjui dėl jo tyčinio nusikaltimo, ar dėl narkotinių medžiagų bei alkoholio vartojimo.
Taigi draudiminiu įvykiu pripažįstamas tik netikėtas ir staigus dėl išorinių jėgų poveikio atsiradęs sveikatos sutrikimas. Savo ruožtu išorinės jėgos poveikis gali būti mechaninis, cheminis, terminis arba elektrinis.
Norint apskaičiuoti premijos dydį draudžiantis nuo nelaimingų atsitikimų būtina žinoti su kokia tikimybe gali įvykti tas ar kitas draudiminis įvykis. Kai kurie įvykiai atsitinka palyginti dažnai (pvz., autoavarijos), o kai kurie – ypač retai (tarkime, laukinių žvėrių užpuolimas). Detaliai grupuojant draudimo įvykius norima kiekvieno apdraustojo atžvilgiu pasiekti relią įvykio tikimybę. Santykinai reti įvykiai kartu nėra mums įprasti atsitiktiniai įvykiai. Yra nustatyta, kad tokie reti įvykiai kaip žaibo įtrenkimas ar, tarkime, arklio įspyrimas kartojasi gamyboje dirbančių asmenų atžvilgiu pagal tikimybių teorijoje žinomą Puasono dėsnį. Visa tai leidžia tiksliau prognozuoti riziką, modeliuoti draudimo įvykio tikimybę.
Didelė nelaimingų įvykių dalis tenka transportui. Kelių eismo nelaimėse kasmet žūva apie 150 000 žmonių, o dar maždaug 7,5 milijono patiria įvairias traumas. Ketvirtadalis šių įvykių tenka neprofesionaliems vairuotojams, t.y. mėgėjams (Riabikin, 1996).
Draudimo praktikoje dažnai yra įvertinamas atskirų profesijų ar technologijų, su kuriomis susietas draudėjas, pavo­jingumas. Atskirų šalių įstatymai nevienodai skirsto profesijas ar technologijas pagal jų rizikos požymius. Mes trumpai aptarsime labiausiai paplitusius atvejus.
Pagal darbo pobūdį besidraudžiantieji gali būti skirstomi į kelias tarifines klases. Kuo labiau draudėjo profesinis užsiė­mimas yra susietas su didesne rizika, tuo aukštesnei tarifinei klasei su didesniu tarifiniu įkainiu jis yra priskiriamas. Su darbo santykiais susieti nelaimingi atsitikimai paprastai yra privalomojo draudimo draudiminiai įvykiai. Privalomuoju draudimu paprastai rūpinasi darbdaviai.
Savanoriško draudimo nuo nelaimingų atsitikimų įmokos dydis taip pat priklauso nuo įvairių rizikos požymių. Svar­biausiais požymiais laikomi draudėjo lytis, amžius, gyvenimo sąlygos, pomėgiai ir laisvalaikio užsiėmimai. Labai svarbus požymis yra tai, ar besidraudžiantis asmuo naudojasi lengvuoju automobiliu.  Draudėjas, intensyviai užsiiminėjantis parašiutizmu ar alpinizmu, pasižymi didesniu rizikingumu, nei tas draudėjas, kuris laisvalaikį leidžia žiūrėdamas televizorių, ar žaisdamas šaškėmis.
Draudėjų klasifikavimas leidžia apjungti vienodo pobūdžio rizikas ir nustatyti nelaimingų atsitikimų dažnumą ir jų sunkumo laipsnį.
Mirtini nelaimingi atsitikimai vertinami atskirai nuo nuolatinio darbingumo netekimo įvykių. Savo ruožtu nuolatinis darbingumo netekimas gali būti pilnas arba dalinis. Dalinis darbingumo netekimas skirstomas pagal laipsnį ir darbingumo netekimo procentą.
Norint įvertinti nelaimingų atsitikimų sunkumą dalinis darbingumo netekimas perskaičiuojamas į pilną (kai kada pilnas darbingumo netekimas yra perskaičiuojamas į mirtiną įvykį; Riabikin, 1996)).
Esant daliniam invalidumui darbingumo netekimo procen­tas prilyginamas išmokamos draudimo sumos procentui. Draudimo bendrovė “Draudimas” buvo numačiusi tokius darbingumo netekimo procentus (Čepinskis, 1999):
Kojos netekimas – 60%;
Rankos netekimas – 40%;
Apakimas viena akimi – 55%’
Apkurtimas viena ausimi – 25%.
Išnagrinėkime tikimybės netekti darbingumo skaičiavimo pavyzdį. Tarkime, kad vienoje draudimo tarifinėje klasėje nelaimingų atsitikimų pagal savo baigtį per metus 1000 apsidraudusių gyventojų pasiskirstė taip:
Mirtinų atvejų –1;
Pilno darbingumo netekimo atvejų – 1;
Dalinio darbingumo netekimo atvejų – 5.
Savo ruožtu dalinio darbingumo netekimo atvejai pagal invalidiškumą pasis­kirstė taip:

Taigi dalinio darbingumo netekimai, perskaičiuoti į pilnus bus: 205:100=2,05. Kitaip tariant 5 aptarti dalinio darbingumo netekimo atvejai yra ekvivalentūs 2,05 pilno darbingumo netekimo atvejų.
Tokiu būdu, jei 1000 draudėjų iš viso tenka 7 (1+1+5) nelaimingi atsitikimai, tai nelaimingų atsitikimų, ekvivalenčių pilnam darbingumo netekimui (įskaitant ir mirties atvejį), bus 1+1+2,05=4,05. Iš čia prieiname išvados, kad tikimybė pilnai netekti darbingumo arba numirti (dėl nelaimingo atsitikimo) lygi . Todėl 10 000 Lt  draudimo sumos išmokėjimo matematinė viltis bus 10 000∙0,00405=40,5Lt.
Gautoji suma gali būti laikoma neto premija draudžiant nuo nelaimingų atsitikimų vieneriems metams. Pailgėjus draudimo terminui metinės neto premijos dydis mažėja, nes draudimo įmokoms dar priskaičiuojamos palūkanos.
Mišriojo gyvybės draudimo atveju, į kurį įeina ir draudimas nuo nelaimingų atsitikimų, metinės premijos dydis keičiasi priklausomai nuo tikimybės netekti darbingumo ir diskonto koeficiento dydžio.
Jei S – draudimo suma išmokama netekus darbingumo, q – nelaimingo įvykio tikimybė, o v – diskonto koeficientas, tai draudiko išmokų, atliekamų kiekvienų metų gale (post­numerando), dabartinė vertė bus:
– po I – jų metų;
– po II – jų metų;
………………………………….
– po n – jų metų;
Visų išmokų dabartinių verčių suma sudarys geometrinę progresiją.

.

                      Draudėjo įmokų (dėl nelaimingų atsitikimų) kiekvienų metų pradžioje dabartinė vertė bus kita seka:
_na – už I – sius metus;
_na p v – už II – sius metus;
………………………………….
_na p v^n-1 – už n – tuosius metus,
kur p=1-q – tikimybė, kad įvykis (nelaimė) neįvyks.
Susumavę įmokų dabartines vertes ir pastebėję, kad dalis šios sumos sudaro geometrinę progresiją, gausime:

;

;

.

                      Remiantis draudėjo ir draudiko įsipareigojimų ekvivalentumu sulyginame įmokų ir išmokų dabartines vertes

Iš čia draudėjo mokama metinė premija būtų

3.16 pavyzdys. Pilietis X nori apsidrausti nuo nelaimingo atsitikimo 10 000 Lt sumai 5 metams. Žinoma, kad tikimybė q per metus įvykti nelaimingam atsitikimui lygi 0,00405, o palūkanų norma i yra 0,04. Kam lygi metinė neto premija?
Sprendimas.
Pagal uždavinio sąlygą S=10 000 Lt, q=0,00405; n = 5; i=0,04.
Turime p=1– q=1– 0,00405=0,99595. Remiantis (2.21) for­mule, turime

;

.

Atsakymas: metinė neto premija lygi 39,07 Lt.
Jei draudimo įmonė ima 12% priedą, tai bruto premijos dydis bus lygus 43,76 Lt. Pilietis, 5 metus iš eilės kasmet mokėdamas po 43Lt ir 76 ct., turės teisę gauti draudimo atlyginimą, jei per šį laikotarpį įvyks nelaimingas atsitikimas. Draudimo atlyginimo dydis bus proporcingas nelaimingo atsitikimo metu prarasto darbingumo procentui. Visa 10 000 Lt suma bus išmokėta tik 100% praradus darbingumą, arba draudėjui mirus dėl nelaimingo atsitikimo.